\(\int \frac {x^2}{\sqrt {a+b \sqrt {x}}} \, dx\) [2239]

Optimal result

Integrand size = 17, antiderivative size = 130 \[ \int \frac {x^2}{\sqrt {a+b \sqrt {x}}} \, dx=-\frac {4 a^5 \sqrt {a+b \sqrt {x}}}{b^6}+\frac {20 a^4 \left (a+b \sqrt {x}\right )^{3/2}}{3 b^6}-\frac {8 a^3 \left (a+b \sqrt {x}\right )^{5/2}}{b^6}+\frac {40 a^2 \left (a+b \sqrt {x}\right )^{7/2}}{7 b^6}-\frac {20 a \left (a+b \sqrt {x}\right )^{9/2}}{9 b^6}+\frac {4 \left (a+b \sqrt {x}\right )^{11/2}}{11 b^6} \]

[Out]

20/3*a^4*(a+b*x^(1/2))^(3/2)/b^6-8*a^3*(a+b*x^(1/2))^(5/2)/b^6+40/7*a^2*(a+b*x^(1/2))^(7/2)/b^6-20/9*a*(a+b*x^
(1/2))^(9/2)/b^6+4/11*(a+b*x^(1/2))^(11/2)/b^6-4*a^5*(a+b*x^(1/2))^(1/2)/b^6

Rubi [A] (verified)

Time = 0.04 (sec) , antiderivative size = 130, normalized size of antiderivative = 1.00, number of steps used = 3, number of rules used = 2, \(\frac {\text {number of rules}}{\text {integrand size}}\) = 0.118, Rules used = {272, 45} \[ \int \frac {x^2}{\sqrt {a+b \sqrt {x}}} \, dx=-\frac {4 a^5 \sqrt {a+b \sqrt {x}}}{b^6}+\frac {20 a^4 \left (a+b \sqrt {x}\right )^{3/2}}{3 b^6}-\frac {8 a^3 \left (a+b \sqrt {x}\right )^{5/2}}{b^6}+\frac {40 a^2 \left (a+b \sqrt {x}\right )^{7/2}}{7 b^6}+\frac {4 \left (a+b \sqrt {x}\right )^{11/2}}{11 b^6}-\frac {20 a \left (a+b \sqrt {x}\right )^{9/2}}{9 b^6} \]

[In]

Int[x^2/Sqrt[a + b*Sqrt[x]],x]

[Out]

(-4*a^5*Sqrt[a + b*Sqrt[x]])/b^6 + (20*a^4*(a + b*Sqrt[x])^(3/2))/(3*b^6) - (8*a^3*(a + b*Sqrt[x])^(5/2))/b^6
+ (40*a^2*(a + b*Sqrt[x])^(7/2))/(7*b^6) - (20*a*(a + b*Sqrt[x])^(9/2))/(9*b^6) + (4*(a + b*Sqrt[x])^(11/2))/(
11*b^6)

Rule 45

Int[((a_.) + (b_.)*(x_))^(m_.)*((c_.) + (d_.)*(x_))^(n_.), x_Symbol] :> Int[ExpandIntegrand[(a + b*x)^m*(c + d
*x)^n, x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, n}, x] && NeQ[b*c - a*d, 0] && IGtQ[m, 0] && ( !IntegerQ[n] || (EqQ[c, 0]
&& LeQ[7*m + 4*n + 4, 0]) || LtQ[9*m + 5*(n + 1), 0] || GtQ[m + n + 2, 0])

Rule 272

Int[(x_)^(m_.)*((a_) + (b_.)*(x_)^(n_))^(p_), x_Symbol] :> Dist[1/n, Subst[Int[x^(Simplify[(m + 1)/n] - 1)*(a
+ b*x)^p, x], x, x^n], x] /; FreeQ[{a, b, m, n, p}, x] && IntegerQ[Simplify[(m + 1)/n]]

Rubi steps \begin{align*} \text {integral}& = 2 \text {Subst}\left (\int \frac {x^5}{\sqrt {a+b x}} \, dx,x,\sqrt {x}\right ) \\ & = 2 \text {Subst}\left (\int \left (-\frac {a^5}{b^5 \sqrt {a+b x}}+\frac {5 a^4 \sqrt {a+b x}}{b^5}-\frac {10 a^3 (a+b x)^{3/2}}{b^5}+\frac {10 a^2 (a+b x)^{5/2}}{b^5}-\frac {5 a (a+b x)^{7/2}}{b^5}+\frac {(a+b x)^{9/2}}{b^5}\right ) \, dx,x,\sqrt {x}\right ) \\ & = -\frac {4 a^5 \sqrt {a+b \sqrt {x}}}{b^6}+\frac {20 a^4 \left (a+b \sqrt {x}\right )^{3/2}}{3 b^6}-\frac {8 a^3 \left (a+b \sqrt {x}\right )^{5/2}}{b^6}+\frac {40 a^2 \left (a+b \sqrt {x}\right )^{7/2}}{7 b^6}-\frac {20 a \left (a+b \sqrt {x}\right )^{9/2}}{9 b^6}+\frac {4 \left (a+b \sqrt {x}\right )^{11/2}}{11 b^6} \\ \end{align*}

Mathematica [A] (verified)

Time = 0.06 (sec) , antiderivative size = 78, normalized size of antiderivative = 0.60 \[ \int \frac {x^2}{\sqrt {a+b \sqrt {x}}} \, dx=\frac {4 \sqrt {a+b \sqrt {x}} \left (-256 a^5+128 a^4 b \sqrt {x}-96 a^3 b^2 x+80 a^2 b^3 x^{3/2}-70 a b^4 x^2+63 b^5 x^{5/2}\right )}{693 b^6} \]

[In]

Integrate[x^2/Sqrt[a + b*Sqrt[x]],x]

[Out]

(4*Sqrt[a + b*Sqrt[x]]*(-256*a^5 + 128*a^4*b*Sqrt[x] - 96*a^3*b^2*x + 80*a^2*b^3*x^(3/2) - 70*a*b^4*x^2 + 63*b
^5*x^(5/2)))/(693*b^6)

Maple [A] (verified)

Time = 3.71 (sec) , antiderivative size = 86, normalized size of antiderivative = 0.66

method	result	size
derivativedivides	\(\frac {\frac {4 \left (a +b \sqrt {x}\right )^{\frac {11}{2}}}{11}-\frac {20 a \left (a +b \sqrt {x}\right )^{\frac {9}{2}}}{9}+\frac {40 a^{2} \left (a +b \sqrt {x}\right )^{\frac {7}{2}}}{7}-8 a^{3} \left (a +b \sqrt {x}\right )^{\frac {5}{2}}+\frac {20 a^{4} \left (a +b \sqrt {x}\right )^{\frac {3}{2}}}{3}-4 a^{5} \sqrt {a +b \sqrt {x}}}{b^{6}}\)	\(86\)
default	\(\frac {\frac {4 \left (a +b \sqrt {x}\right )^{\frac {11}{2}}}{11}-\frac {20 a \left (a +b \sqrt {x}\right )^{\frac {9}{2}}}{9}+\frac {40 a^{2} \left (a +b \sqrt {x}\right )^{\frac {7}{2}}}{7}-8 a^{3} \left (a +b \sqrt {x}\right )^{\frac {5}{2}}+\frac {20 a^{4} \left (a +b \sqrt {x}\right )^{\frac {3}{2}}}{3}-4 a^{5} \sqrt {a +b \sqrt {x}}}{b^{6}}\)	\(86\)

[In]

int(x^2/(a+b*x^(1/2))^(1/2),x,method=_RETURNVERBOSE)

[Out]

4/b^6*(1/11*(a+b*x^(1/2))^(11/2)-5/9*a*(a+b*x^(1/2))^(9/2)+10/7*a^2*(a+b*x^(1/2))^(7/2)-2*a^3*(a+b*x^(1/2))^(5
/2)+5/3*a^4*(a+b*x^(1/2))^(3/2)-a^5*(a+b*x^(1/2))^(1/2))

Fricas [A] (verification not implemented)

none

Time = 0.25 (sec) , antiderivative size = 67, normalized size of antiderivative = 0.52 \[ \int \frac {x^2}{\sqrt {a+b \sqrt {x}}} \, dx=-\frac {4 \, {\left (70 \, a b^{4} x^{2} + 96 \, a^{3} b^{2} x + 256 \, a^{5} - {\left (63 \, b^{5} x^{2} + 80 \, a^{2} b^{3} x + 128 \, a^{4} b\right )} \sqrt {x}\right )} \sqrt {b \sqrt {x} + a}}{693 \, b^{6}} \]

[In]

integrate(x^2/(a+b*x^(1/2))^(1/2),x, algorithm="fricas")

[Out]

-4/693*(70*a*b^4*x^2 + 96*a^3*b^2*x + 256*a^5 - (63*b^5*x^2 + 80*a^2*b^3*x + 128*a^4*b)*sqrt(x))*sqrt(b*sqrt(x
) + a)/b^6

Sympy [B] (verification not implemented)

Leaf count of result is larger than twice the leaf count of optimal. 8356 vs. \(2 (122) = 244\).

Time = 5.37 (sec) , antiderivative size = 8356, normalized size of antiderivative = 64.28 \[ \int \frac {x^2}{\sqrt {a+b \sqrt {x}}} \, dx=\text {Too large to display} \]

[In]

integrate(x**2/(a+b*x**(1/2))**(1/2),x)

[Out]

-1024*a**(151/2)*x**18*sqrt(1 + b*sqrt(x)/a)/(693*a**70*b**6*x**18 + 10395*a**69*b**7*x**(37/2) + 72765*a**68*
b**8*x**19 + 315315*a**67*b**9*x**(39/2) + 945945*a**66*b**10*x**20 + 2081079*a**65*b**11*x**(41/2) + 3468465*
a**64*b**12*x**21 + 4459455*a**63*b**13*x**(43/2) + 4459455*a**62*b**14*x**22 + 3468465*a**61*b**15*x**(45/2)
+ 2081079*a**60*b**16*x**23 + 945945*a**59*b**17*x**(47/2) + 315315*a**58*b**18*x**24 + 72765*a**57*b**19*x**(
49/2) + 10395*a**56*b**20*x**25 + 693*a**55*b**21*x**(51/2)) + 1024*a**(151/2)*x**18/(693*a**70*b**6*x**18 + 1
0395*a**69*b**7*x**(37/2) + 72765*a**68*b**8*x**19 + 315315*a**67*b**9*x**(39/2) + 945945*a**66*b**10*x**20 +
2081079*a**65*b**11*x**(41/2) + 3468465*a**64*b**12*x**21 + 4459455*a**63*b**13*x**(43/2) + 4459455*a**62*b**1
4*x**22 + 3468465*a**61*b**15*x**(45/2) + 2081079*a**60*b**16*x**23 + 945945*a**59*b**17*x**(47/2) + 315315*a*
*58*b**18*x**24 + 72765*a**57*b**19*x**(49/2) + 10395*a**56*b**20*x**25 + 693*a**55*b**21*x**(51/2)) - 14848*a
**(149/2)*b*x**(37/2)*sqrt(1 + b*sqrt(x)/a)/(693*a**70*b**6*x**18 + 10395*a**69*b**7*x**(37/2) + 72765*a**68*b
**8*x**19 + 315315*a**67*b**9*x**(39/2) + 945945*a**66*b**10*x**20 + 2081079*a**65*b**11*x**(41/2) + 3468465*a
**64*b**12*x**21 + 4459455*a**63*b**13*x**(43/2) + 4459455*a**62*b**14*x**22 + 3468465*a**61*b**15*x**(45/2) +
2081079*a**60*b**16*x**23 + 945945*a**59*b**17*x**(47/2) + 315315*a**58*b**18*x**24 + 72765*a**57*b**19*x**(4
9/2) + 10395*a**56*b**20*x**25 + 693*a**55*b**21*x**(51/2)) + 15360*a**(149/2)*b*x**(37/2)/(693*a**70*b**6*x**
18 + 10395*a**69*b**7*x**(37/2) + 72765*a**68*b**8*x**19 + 315315*a**67*b**9*x**(39/2) + 945945*a**66*b**10*x*
*20 + 2081079*a**65*b**11*x**(41/2) + 3468465*a**64*b**12*x**21 + 4459455*a**63*b**13*x**(43/2) + 4459455*a**6
2*b**14*x**22 + 3468465*a**61*b**15*x**(45/2) + 2081079*a**60*b**16*x**23 + 945945*a**59*b**17*x**(47/2) + 315
315*a**58*b**18*x**24 + 72765*a**57*b**19*x**(49/2) + 10395*a**56*b**20*x**25 + 693*a**55*b**21*x**(51/2)) - 1
00224*a**(147/2)*b**2*x**19*sqrt(1 + b*sqrt(x)/a)/(693*a**70*b**6*x**18 + 10395*a**69*b**7*x**(37/2) + 72765*a
**68*b**8*x**19 + 315315*a**67*b**9*x**(39/2) + 945945*a**66*b**10*x**20 + 2081079*a**65*b**11*x**(41/2) + 346
8465*a**64*b**12*x**21 + 4459455*a**63*b**13*x**(43/2) + 4459455*a**62*b**14*x**22 + 3468465*a**61*b**15*x**(4
5/2) + 2081079*a**60*b**16*x**23 + 945945*a**59*b**17*x**(47/2) + 315315*a**58*b**18*x**24 + 72765*a**57*b**19
*x**(49/2) + 10395*a**56*b**20*x**25 + 693*a**55*b**21*x**(51/2)) + 107520*a**(147/2)*b**2*x**19/(693*a**70*b*
*6*x**18 + 10395*a**69*b**7*x**(37/2) + 72765*a**68*b**8*x**19 + 315315*a**67*b**9*x**(39/2) + 945945*a**66*b*
*10*x**20 + 2081079*a**65*b**11*x**(41/2) + 3468465*a**64*b**12*x**21 + 4459455*a**63*b**13*x**(43/2) + 445945
5*a**62*b**14*x**22 + 3468465*a**61*b**15*x**(45/2) + 2081079*a**60*b**16*x**23 + 945945*a**59*b**17*x**(47/2)
+ 315315*a**58*b**18*x**24 + 72765*a**57*b**19*x**(49/2) + 10395*a**56*b**20*x**25 + 693*a**55*b**21*x**(51/2
)) - 417600*a**(145/2)*b**3*x**(39/2)*sqrt(1 + b*sqrt(x)/a)/(693*a**70*b**6*x**18 + 10395*a**69*b**7*x**(37/2)
+ 72765*a**68*b**8*x**19 + 315315*a**67*b**9*x**(39/2) + 945945*a**66*b**10*x**20 + 2081079*a**65*b**11*x**(4
1/2) + 3468465*a**64*b**12*x**21 + 4459455*a**63*b**13*x**(43/2) + 4459455*a**62*b**14*x**22 + 3468465*a**61*b
**15*x**(45/2) + 2081079*a**60*b**16*x**23 + 945945*a**59*b**17*x**(47/2) + 315315*a**58*b**18*x**24 + 72765*a
**57*b**19*x**(49/2) + 10395*a**56*b**20*x**25 + 693*a**55*b**21*x**(51/2)) + 465920*a**(145/2)*b**3*x**(39/2)
/(693*a**70*b**6*x**18 + 10395*a**69*b**7*x**(37/2) + 72765*a**68*b**8*x**19 + 315315*a**67*b**9*x**(39/2) + 9
45945*a**66*b**10*x**20 + 2081079*a**65*b**11*x**(41/2) + 3468465*a**64*b**12*x**21 + 4459455*a**63*b**13*x**(
43/2) + 4459455*a**62*b**14*x**22 + 3468465*a**61*b**15*x**(45/2) + 2081079*a**60*b**16*x**23 + 945945*a**59*b
**17*x**(47/2) + 315315*a**58*b**18*x**24 + 72765*a**57*b**19*x**(49/2) + 10395*a**56*b**20*x**25 + 693*a**55*
b**21*x**(51/2)) - 1200600*a**(143/2)*b**4*x**20*sqrt(1 + b*sqrt(x)/a)/(693*a**70*b**6*x**18 + 10395*a**69*b**
7*x**(37/2) + 72765*a**68*b**8*x**19 + 315315*a**67*b**9*x**(39/2) + 945945*a**66*b**10*x**20 + 2081079*a**65*
b**11*x**(41/2) + 3468465*a**64*b**12*x**21 + 4459455*a**63*b**13*x**(43/2) + 4459455*a**62*b**14*x**22 + 3468
465*a**61*b**15*x**(45/2) + 2081079*a**60*b**16*x**23 + 945945*a**59*b**17*x**(47/2) + 315315*a**58*b**18*x**2
4 + 72765*a**57*b**19*x**(49/2) + 10395*a**56*b**20*x**25 + 693*a**55*b**21*x**(51/2)) + 1397760*a**(143/2)*b*
*4*x**20/(693*a**70*b**6*x**18 + 10395*a**69*b**7*x**(37/2) + 72765*a**68*b**8*x**19 + 315315*a**67*b**9*x**(3
9/2) + 945945*a**66*b**10*x**20 + 2081079*a**65*b**11*x**(41/2) + 3468465*a**64*b**12*x**21 + 4459455*a**63*b*
*13*x**(43/2) + 4459455*a**62*b**14*x**22 + 3468465*a**61*b**15*x**(45/2) + 2081079*a**60*b**16*x**23 + 945945
*a**59*b**17*x**(47/2) + 315315*a**58*b**18*x**24 + 72765*a**57*b**19*x**(49/2) + 10395*a**56*b**20*x**25 + 69
3*a**55*b**21*x**(51/2)) - 2521260*a**(141/2)*b**5*x**(41/2)*sqrt(1 + b*sqrt(x)/a)/(693*a**70*b**6*x**18 + 103
95*a**69*b**7*x**(37/2) + 72765*a**68*b**8*x**19 + 315315*a**67*b**9*x**(39/2) + 945945*a**66*b**10*x**20 + 20
81079*a**65*b**11*x**(41/2) + 3468465*a**64*b**12*x**21 + 4459455*a**63*b**13*x**(43/2) + 4459455*a**62*b**14*
x**22 + 3468465*a**61*b**15*x**(45/2) + 2081079*a**60*b**16*x**23 + 945945*a**59*b**17*x**(47/2) + 315315*a**5
8*b**18*x**24 + 72765*a**57*b**19*x**(49/2) + 10395*a**56*b**20*x**25 + 693*a**55*b**21*x**(51/2)) + 3075072*a
**(141/2)*b**5*x**(41/2)/(693*a**70*b**6*x**18 + 10395*a**69*b**7*x**(37/2) + 72765*a**68*b**8*x**19 + 315315*
a**67*b**9*x**(39/2) + 945945*a**66*b**10*x**20 + 2081079*a**65*b**11*x**(41/2) + 3468465*a**64*b**12*x**21 +
4459455*a**63*b**13*x**(43/2) + 4459455*a**62*b**14*x**22 + 3468465*a**61*b**15*x**(45/2) + 2081079*a**60*b**1
6*x**23 + 945945*a**59*b**17*x**(47/2) + 315315*a**58*b**18*x**24 + 72765*a**57*b**19*x**(49/2) + 10395*a**56*
b**20*x**25 + 693*a**55*b**21*x**(51/2)) - 3991764*a**(139/2)*b**6*x**21*sqrt(1 + b*sqrt(x)/a)/(693*a**70*b**6
*x**18 + 10395*a**69*b**7*x**(37/2) + 72765*a**68*b**8*x**19 + 315315*a**67*b**9*x**(39/2) + 945945*a**66*b**1
0*x**20 + 2081079*a**65*b**11*x**(41/2) + 3468465*a**64*b**12*x**21 + 4459455*a**63*b**13*x**(43/2) + 4459455*
a**62*b**14*x**22 + 3468465*a**61*b**15*x**(45/2) + 2081079*a**60*b**16*x**23 + 945945*a**59*b**17*x**(47/2) +
315315*a**58*b**18*x**24 + 72765*a**57*b**19*x**(49/2) + 10395*a**56*b**20*x**25 + 693*a**55*b**21*x**(51/2))
+ 5125120*a**(139/2)*b**6*x**21/(693*a**70*b**6*x**18 + 10395*a**69*b**7*x**(37/2) + 72765*a**68*b**8*x**19 +
315315*a**67*b**9*x**(39/2) + 945945*a**66*b**10*x**20 + 2081079*a**65*b**11*x**(41/2) + 3468465*a**64*b**12*
x**21 + 4459455*a**63*b**13*x**(43/2) + 4459455*a**62*b**14*x**22 + 3468465*a**61*b**15*x**(45/2) + 2081079*a*
*60*b**16*x**23 + 945945*a**59*b**17*x**(47/2) + 315315*a**58*b**18*x**24 + 72765*a**57*b**19*x**(49/2) + 1039
5*a**56*b**20*x**25 + 693*a**55*b**21*x**(51/2)) - 4844172*a**(137/2)*b**7*x**(43/2)*sqrt(1 + b*sqrt(x)/a)/(69
3*a**70*b**6*x**18 + 10395*a**69*b**7*x**(37/2) + 72765*a**68*b**8*x**19 + 315315*a**67*b**9*x**(39/2) + 94594
5*a**66*b**10*x**20 + 2081079*a**65*b**11*x**(41/2) + 3468465*a**64*b**12*x**21 + 4459455*a**63*b**13*x**(43/2
) + 4459455*a**62*b**14*x**22 + 3468465*a**61*b**15*x**(45/2) + 2081079*a**60*b**16*x**23 + 945945*a**59*b**17
*x**(47/2) + 315315*a**58*b**18*x**24 + 72765*a**57*b**19*x**(49/2) + 10395*a**56*b**20*x**25 + 693*a**55*b**2
1*x**(51/2)) + 6589440*a**(137/2)*b**7*x**(43/2)/(693*a**70*b**6*x**18 + 10395*a**69*b**7*x**(37/2) + 72765*a*
*68*b**8*x**19 + 315315*a**67*b**9*x**(39/2) + 945945*a**66*b**10*x**20 + 2081079*a**65*b**11*x**(41/2) + 3468
465*a**64*b**12*x**21 + 4459455*a**63*b**13*x**(43/2) + 4459455*a**62*b**14*x**22 + 3468465*a**61*b**15*x**(45
/2) + 2081079*a**60*b**16*x**23 + 945945*a**59*b**17*x**(47/2) + 315315*a**58*b**18*x**24 + 72765*a**57*b**19*
x**(49/2) + 10395*a**56*b**20*x**25 + 693*a**55*b**21*x**(51/2)) - 4523220*a**(135/2)*b**8*x**22*sqrt(1 + b*sq
rt(x)/a)/(693*a**70*b**6*x**18 + 10395*a**69*b**7*x**(37/2) + 72765*a**68*b**8*x**19 + 315315*a**67*b**9*x**(3
9/2) + 945945*a**66*b**10*x**20 + 2081079*a**65*b**11*x**(41/2) + 3468465*a**64*b**12*x**21 + 4459455*a**63*b*
*13*x**(43/2) + 4459455*a**62*b**14*x**22 + 3468465*a**61*b**15*x**(45/2) + 2081079*a**60*b**16*x**23 + 945945
*a**59*b**17*x**(47/2) + 315315*a**58*b**18*x**24 + 72765*a**57*b**19*x**(49/2) + 10395*a**56*b**20*x**25 + 69
3*a**55*b**21*x**(51/2)) + 6589440*a**(135/2)*b**8*x**22/(693*a**70*b**6*x**18 + 10395*a**69*b**7*x**(37/2) +
72765*a**68*b**8*x**19 + 315315*a**67*b**9*x**(39/2) + 945945*a**66*b**10*x**20 + 2081079*a**65*b**11*x**(41/2
) + 3468465*a**64*b**12*x**21 + 4459455*a**63*b**13*x**(43/2) + 4459455*a**62*b**14*x**22 + 3468465*a**61*b**1
5*x**(45/2) + 2081079*a**60*b**16*x**23 + 945945*a**59*b**17*x**(47/2) + 315315*a**58*b**18*x**24 + 72765*a**5
7*b**19*x**(49/2) + 10395*a**56*b**20*x**25 + 693*a**55*b**21*x**(51/2)) - 3196700*a**(133/2)*b**9*x**(45/2)*s
qrt(1 + b*sqrt(x)/a)/(693*a**70*b**6*x**18 + 10395*a**69*b**7*x**(37/2) + 72765*a**68*b**8*x**19 + 315315*a**6
7*b**9*x**(39/2) + 945945*a**66*b**10*x**20 + 2081079*a**65*b**11*x**(41/2) + 3468465*a**64*b**12*x**21 + 4459
455*a**63*b**13*x**(43/2) + 4459455*a**62*b**14*x**22 + 3468465*a**61*b**15*x**(45/2) + 2081079*a**60*b**16*x*
*23 + 945945*a**59*b**17*x**(47/2) + 315315*a**58*b**18*x**24 + 72765*a**57*b**19*x**(49/2) + 10395*a**56*b**2
0*x**25 + 693*a**55*b**21*x**(51/2)) + 5125120*a**(133/2)*b**9*x**(45/2)/(693*a**70*b**6*x**18 + 10395*a**69*b
**7*x**(37/2) + 72765*a**68*b**8*x**19 + 315315*a**67*b**9*x**(39/2) + 945945*a**66*b**10*x**20 + 2081079*a**6
5*b**11*x**(41/2) + 3468465*a**64*b**12*x**21 + 4459455*a**63*b**13*x**(43/2) + 4459455*a**62*b**14*x**22 + 34
68465*a**61*b**15*x**(45/2) + 2081079*a**60*b**16*x**23 + 945945*a**59*b**17*x**(47/2) + 315315*a**58*b**18*x*
*24 + 72765*a**57*b**19*x**(49/2) + 10395*a**56*b**20*x**25 + 693*a**55*b**21*x**(51/2)) - 1568996*a**(131/2)*
b**10*x**23*sqrt(1 + b*sqrt(x)/a)/(693*a**70*b**6*x**18 + 10395*a**69*b**7*x**(37/2) + 72765*a**68*b**8*x**19
+ 315315*a**67*b**9*x**(39/2) + 945945*a**66*b**10*x**20 + 2081079*a**65*b**11*x**(41/2) + 3468465*a**64*b**12
*x**21 + 4459455*a**63*b**13*x**(43/2) + 4459455*a**62*b**14*x**22 + 3468465*a**61*b**15*x**(45/2) + 2081079*a
**60*b**16*x**23 + 945945*a**59*b**17*x**(47/2) + 315315*a**58*b**18*x**24 + 72765*a**57*b**19*x**(49/2) + 103
95*a**56*b**20*x**25 + 693*a**55*b**21*x**(51/2)) + 3075072*a**(131/2)*b**10*x**23/(693*a**70*b**6*x**18 + 103
95*a**69*b**7*x**(37/2) + 72765*a**68*b**8*x**19 + 315315*a**67*b**9*x**(39/2) + 945945*a**66*b**10*x**20 + 20
81079*a**65*b**11*x**(41/2) + 3468465*a**64*b**12*x**21 + 4459455*a**63*b**13*x**(43/2) + 4459455*a**62*b**14*
x**22 + 3468465*a**61*b**15*x**(45/2) + 2081079*a**60*b**16*x**23 + 945945*a**59*b**17*x**(47/2) + 315315*a**5
8*b**18*x**24 + 72765*a**57*b**19*x**(49/2) + 10395*a**56*b**20*x**25 + 693*a**55*b**21*x**(51/2)) - 263484*a*
*(129/2)*b**11*x**(47/2)*sqrt(1 + b*sqrt(x)/a)/(693*a**70*b**6*x**18 + 10395*a**69*b**7*x**(37/2) + 72765*a**6
8*b**8*x**19 + 315315*a**67*b**9*x**(39/2) + 945945*a**66*b**10*x**20 + 2081079*a**65*b**11*x**(41/2) + 346846
5*a**64*b**12*x**21 + 4459455*a**63*b**13*x**(43/2) + 4459455*a**62*b**14*x**22 + 3468465*a**61*b**15*x**(45/2
) + 2081079*a**60*b**16*x**23 + 945945*a**59*b**17*x**(47/2) + 315315*a**58*b**18*x**24 + 72765*a**57*b**19*x*
*(49/2) + 10395*a**56*b**20*x**25 + 693*a**55*b**21*x**(51/2)) + 1397760*a**(129/2)*b**11*x**(47/2)/(693*a**70
*b**6*x**18 + 10395*a**69*b**7*x**(37/2) + 72765*a**68*b**8*x**19 + 315315*a**67*b**9*x**(39/2) + 945945*a**66
*b**10*x**20 + 2081079*a**65*b**11*x**(41/2) + 3468465*a**64*b**12*x**21 + 4459455*a**63*b**13*x**(43/2) + 445
9455*a**62*b**14*x**22 + 3468465*a**61*b**15*x**(45/2) + 2081079*a**60*b**16*x**23 + 945945*a**59*b**17*x**(47
/2) + 315315*a**58*b**18*x**24 + 72765*a**57*b**19*x**(49/2) + 10395*a**56*b**20*x**25 + 693*a**55*b**21*x**(5
1/2)) + 501228*a**(127/2)*b**12*x**24*sqrt(1 + b*sqrt(x)/a)/(693*a**70*b**6*x**18 + 10395*a**69*b**7*x**(37/2)
+ 72765*a**68*b**8*x**19 + 315315*a**67*b**9*x**(39/2) + 945945*a**66*b**10*x**20 + 2081079*a**65*b**11*x**(4
1/2) + 3468465*a**64*b**12*x**21 + 4459455*a**63*b**13*x**(43/2) + 4459455*a**62*b**14*x**22 + 3468465*a**61*b
**15*x**(45/2) + 2081079*a**60*b**16*x**23 + 945945*a**59*b**17*x**(47/2) + 315315*a**58*b**18*x**24 + 72765*a
**57*b**19*x**(49/2) + 10395*a**56*b**20*x**25 + 693*a**55*b**21*x**(51/2)) + 465920*a**(127/2)*b**12*x**24/(6
93*a**70*b**6*x**18 + 10395*a**69*b**7*x**(37/2) + 72765*a**68*b**8*x**19 + 315315*a**67*b**9*x**(39/2) + 9459
45*a**66*b**10*x**20 + 2081079*a**65*b**11*x**(41/2) + 3468465*a**64*b**12*x**21 + 4459455*a**63*b**13*x**(43/
2) + 4459455*a**62*b**14*x**22 + 3468465*a**61*b**15*x**(45/2) + 2081079*a**60*b**16*x**23 + 945945*a**59*b**1
7*x**(47/2) + 315315*a**58*b**18*x**24 + 72765*a**57*b**19*x**(49/2) + 10395*a**56*b**20*x**25 + 693*a**55*b**
21*x**(51/2)) + 782460*a**(125/2)*b**13*x**(49/2)*sqrt(1 + b*sqrt(x)/a)/(693*a**70*b**6*x**18 + 10395*a**69*b*
*7*x**(37/2) + 72765*a**68*b**8*x**19 + 315315*a**67*b**9*x**(39/2) + 945945*a**66*b**10*x**20 + 2081079*a**65
*b**11*x**(41/2) + 3468465*a**64*b**12*x**21 + 4459455*a**63*b**13*x**(43/2) + 4459455*a**62*b**14*x**22 + 346
8465*a**61*b**15*x**(45/2) + 2081079*a**60*b**16*x**23 + 945945*a**59*b**17*x**(47/2) + 315315*a**58*b**18*x**
24 + 72765*a**57*b**19*x**(49/2) + 10395*a**56*b**20*x**25 + 693*a**55*b**21*x**(51/2)) + 107520*a**(125/2)*b*
*13*x**(49/2)/(693*a**70*b**6*x**18 + 10395*a**69*b**7*x**(37/2) + 72765*a**68*b**8*x**19 + 315315*a**67*b**9*
x**(39/2) + 945945*a**66*b**10*x**20 + 2081079*a**65*b**11*x**(41/2) + 3468465*a**64*b**12*x**21 + 4459455*a**
63*b**13*x**(43/2) + 4459455*a**62*b**14*x**22 + 3468465*a**61*b**15*x**(45/2) + 2081079*a**60*b**16*x**23 + 9
45945*a**59*b**17*x**(47/2) + 315315*a**58*b**18*x**24 + 72765*a**57*b**19*x**(49/2) + 10395*a**56*b**20*x**25
+ 693*a**55*b**21*x**(51/2)) + 720900*a**(123/2)*b**14*x**25*sqrt(1 + b*sqrt(x)/a)/(693*a**70*b**6*x**18 + 10
395*a**69*b**7*x**(37/2) + 72765*a**68*b**8*x**19 + 315315*a**67*b**9*x**(39/2) + 945945*a**66*b**10*x**20 + 2
081079*a**65*b**11*x**(41/2) + 3468465*a**64*b**12*x**21 + 4459455*a**63*b**13*x**(43/2) + 4459455*a**62*b**14
*x**22 + 3468465*a**61*b**15*x**(45/2) + 2081079*a**60*b**16*x**23 + 945945*a**59*b**17*x**(47/2) + 315315*a**
58*b**18*x**24 + 72765*a**57*b**19*x**(49/2) + 10395*a**56*b**20*x**25 + 693*a**55*b**21*x**(51/2)) + 15360*a*
*(123/2)*b**14*x**25/(693*a**70*b**6*x**18 + 10395*a**69*b**7*x**(37/2) + 72765*a**68*b**8*x**19 + 315315*a**6
7*b**9*x**(39/2) + 945945*a**66*b**10*x**20 + 2081079*a**65*b**11*x**(41/2) + 3468465*a**64*b**12*x**21 + 4459
455*a**63*b**13*x**(43/2) + 4459455*a**62*b**14*x**22 + 3468465*a**61*b**15*x**(45/2) + 2081079*a**60*b**16*x*
*23 + 945945*a**59*b**17*x**(47/2) + 315315*a**58*b**18*x**24 + 72765*a**57*b**19*x**(49/2) + 10395*a**56*b**2
0*x**25 + 693*a**55*b**21*x**(51/2)) + 486492*a**(121/2)*b**15*x**(51/2)*sqrt(1 + b*sqrt(x)/a)/(693*a**70*b**6
*x**18 + 10395*a**69*b**7*x**(37/2) + 72765*a**68*b**8*x**19 + 315315*a**67*b**9*x**(39/2) + 945945*a**66*b**1
0*x**20 + 2081079*a**65*b**11*x**(41/2) + 3468465*a**64*b**12*x**21 + 4459455*a**63*b**13*x**(43/2) + 4459455*
a**62*b**14*x**22 + 3468465*a**61*b**15*x**(45/2) + 2081079*a**60*b**16*x**23 + 945945*a**59*b**17*x**(47/2) +
315315*a**58*b**18*x**24 + 72765*a**57*b**19*x**(49/2) + 10395*a**56*b**20*x**25 + 693*a**55*b**21*x**(51/2))
+ 1024*a**(121/2)*b**15*x**(51/2)/(693*a**70*b**6*x**18 + 10395*a**69*b**7*x**(37/2) + 72765*a**68*b**8*x**19
+ 315315*a**67*b**9*x**(39/2) + 945945*a**66*b**10*x**20 + 2081079*a**65*b**11*x**(41/2) + 3468465*a**64*b**1
2*x**21 + 4459455*a**63*b**13*x**(43/2) + 4459455*a**62*b**14*x**22 + 3468465*a**61*b**15*x**(45/2) + 2081079*
a**60*b**16*x**23 + 945945*a**59*b**17*x**(47/2) + 315315*a**58*b**18*x**24 + 72765*a**57*b**19*x**(49/2) + 10
395*a**56*b**20*x**25 + 693*a**55*b**21*x**(51/2)) + 244932*a**(119/2)*b**16*x**26*sqrt(1 + b*sqrt(x)/a)/(693*
a**70*b**6*x**18 + 10395*a**69*b**7*x**(37/2) + 72765*a**68*b**8*x**19 + 315315*a**67*b**9*x**(39/2) + 945945*
a**66*b**10*x**20 + 2081079*a**65*b**11*x**(41/2) + 3468465*a**64*b**12*x**21 + 4459455*a**63*b**13*x**(43/2)
+ 4459455*a**62*b**14*x**22 + 3468465*a**61*b**15*x**(45/2) + 2081079*a**60*b**16*x**23 + 945945*a**59*b**17*x
**(47/2) + 315315*a**58*b**18*x**24 + 72765*a**57*b**19*x**(49/2) + 10395*a**56*b**20*x**25 + 693*a**55*b**21*
x**(51/2)) + 89676*a**(117/2)*b**17*x**(53/2)*sqrt(1 + b*sqrt(x)/a)/(693*a**70*b**6*x**18 + 10395*a**69*b**7*x
**(37/2) + 72765*a**68*b**8*x**19 + 315315*a**67*b**9*x**(39/2) + 945945*a**66*b**10*x**20 + 2081079*a**65*b**
11*x**(41/2) + 3468465*a**64*b**12*x**21 + 4459455*a**63*b**13*x**(43/2) + 4459455*a**62*b**14*x**22 + 3468465
*a**61*b**15*x**(45/2) + 2081079*a**60*b**16*x**23 + 945945*a**59*b**17*x**(47/2) + 315315*a**58*b**18*x**24 +
72765*a**57*b**19*x**(49/2) + 10395*a**56*b**20*x**25 + 693*a**55*b**21*x**(51/2)) + 22580*a**(115/2)*b**18*x
**27*sqrt(1 + b*sqrt(x)/a)/(693*a**70*b**6*x**18 + 10395*a**69*b**7*x**(37/2) + 72765*a**68*b**8*x**19 + 31531
5*a**67*b**9*x**(39/2) + 945945*a**66*b**10*x**20 + 2081079*a**65*b**11*x**(41/2) + 3468465*a**64*b**12*x**21
+ 4459455*a**63*b**13*x**(43/2) + 4459455*a**62*b**14*x**22 + 3468465*a**61*b**15*x**(45/2) + 2081079*a**60*b*
*16*x**23 + 945945*a**59*b**17*x**(47/2) + 315315*a**58*b**18*x**24 + 72765*a**57*b**19*x**(49/2) + 10395*a**5
6*b**20*x**25 + 693*a**55*b**21*x**(51/2)) + 3500*a**(113/2)*b**19*x**(55/2)*sqrt(1 + b*sqrt(x)/a)/(693*a**70*
b**6*x**18 + 10395*a**69*b**7*x**(37/2) + 72765*a**68*b**8*x**19 + 315315*a**67*b**9*x**(39/2) + 945945*a**66*
b**10*x**20 + 2081079*a**65*b**11*x**(41/2) + 3468465*a**64*b**12*x**21 + 4459455*a**63*b**13*x**(43/2) + 4459
455*a**62*b**14*x**22 + 3468465*a**61*b**15*x**(45/2) + 2081079*a**60*b**16*x**23 + 945945*a**59*b**17*x**(47/
2) + 315315*a**58*b**18*x**24 + 72765*a**57*b**19*x**(49/2) + 10395*a**56*b**20*x**25 + 693*a**55*b**21*x**(51
/2)) + 252*a**(111/2)*b**20*x**28*sqrt(1 + b*sqrt(x)/a)/(693*a**70*b**6*x**18 + 10395*a**69*b**7*x**(37/2) + 7
2765*a**68*b**8*x**19 + 315315*a**67*b**9*x**(39/2) + 945945*a**66*b**10*x**20 + 2081079*a**65*b**11*x**(41/2)
+ 3468465*a**64*b**12*x**21 + 4459455*a**63*b**13*x**(43/2) + 4459455*a**62*b**14*x**22 + 3468465*a**61*b**15
*x**(45/2) + 2081079*a**60*b**16*x**23 + 945945*a**59*b**17*x**(47/2) + 315315*a**58*b**18*x**24 + 72765*a**57
*b**19*x**(49/2) + 10395*a**56*b**20*x**25 + 693*a**55*b**21*x**(51/2))

Maxima [A] (verification not implemented)

none

Time = 0.20 (sec) , antiderivative size = 98, normalized size of antiderivative = 0.75 \[ \int \frac {x^2}{\sqrt {a+b \sqrt {x}}} \, dx=\frac {4 \, {\left (b \sqrt {x} + a\right )}^{\frac {11}{2}}}{11 \, b^{6}} - \frac {20 \, {\left (b \sqrt {x} + a\right )}^{\frac {9}{2}} a}{9 \, b^{6}} + \frac {40 \, {\left (b \sqrt {x} + a\right )}^{\frac {7}{2}} a^{2}}{7 \, b^{6}} - \frac {8 \, {\left (b \sqrt {x} + a\right )}^{\frac {5}{2}} a^{3}}{b^{6}} + \frac {20 \, {\left (b \sqrt {x} + a\right )}^{\frac {3}{2}} a^{4}}{3 \, b^{6}} - \frac {4 \, \sqrt {b \sqrt {x} + a} a^{5}}{b^{6}} \]

[In]

integrate(x^2/(a+b*x^(1/2))^(1/2),x, algorithm="maxima")

[Out]

4/11*(b*sqrt(x) + a)^(11/2)/b^6 - 20/9*(b*sqrt(x) + a)^(9/2)*a/b^6 + 40/7*(b*sqrt(x) + a)^(7/2)*a^2/b^6 - 8*(b
*sqrt(x) + a)^(5/2)*a^3/b^6 + 20/3*(b*sqrt(x) + a)^(3/2)*a^4/b^6 - 4*sqrt(b*sqrt(x) + a)*a^5/b^6

Giac [A] (verification not implemented)

none

Time = 0.29 (sec) , antiderivative size = 85, normalized size of antiderivative = 0.65 \[ \int \frac {x^2}{\sqrt {a+b \sqrt {x}}} \, dx=\frac {4 \, {\left (63 \, {\left (b \sqrt {x} + a\right )}^{\frac {11}{2}} - 385 \, {\left (b \sqrt {x} + a\right )}^{\frac {9}{2}} a + 990 \, {\left (b \sqrt {x} + a\right )}^{\frac {7}{2}} a^{2} - 1386 \, {\left (b \sqrt {x} + a\right )}^{\frac {5}{2}} a^{3} + 1155 \, {\left (b \sqrt {x} + a\right )}^{\frac {3}{2}} a^{4} - 693 \, \sqrt {b \sqrt {x} + a} a^{5}\right )}}{693 \, b^{6}} \]

[In]

integrate(x^2/(a+b*x^(1/2))^(1/2),x, algorithm="giac")

[Out]

4/693*(63*(b*sqrt(x) + a)^(11/2) - 385*(b*sqrt(x) + a)^(9/2)*a + 990*(b*sqrt(x) + a)^(7/2)*a^2 - 1386*(b*sqrt(
x) + a)^(5/2)*a^3 + 1155*(b*sqrt(x) + a)^(3/2)*a^4 - 693*sqrt(b*sqrt(x) + a)*a^5)/b^6

Mupad [B] (verification not implemented)

Time = 5.91 (sec) , antiderivative size = 98, normalized size of antiderivative = 0.75 \[ \int \frac {x^2}{\sqrt {a+b \sqrt {x}}} \, dx=\frac {4\,{\left (a+b\,\sqrt {x}\right )}^{11/2}}{11\,b^6}-\frac {20\,a\,{\left (a+b\,\sqrt {x}\right )}^{9/2}}{9\,b^6}-\frac {4\,a^5\,\sqrt {a+b\,\sqrt {x}}}{b^6}+\frac {20\,a^4\,{\left (a+b\,\sqrt {x}\right )}^{3/2}}{3\,b^6}-\frac {8\,a^3\,{\left (a+b\,\sqrt {x}\right )}^{5/2}}{b^6}+\frac {40\,a^2\,{\left (a+b\,\sqrt {x}\right )}^{7/2}}{7\,b^6} \]

[In]

int(x^2/(a + b*x^(1/2))^(1/2),x)

[Out]

(4*(a + b*x^(1/2))^(11/2))/(11*b^6) - (20*a*(a + b*x^(1/2))^(9/2))/(9*b^6) - (4*a^5*(a + b*x^(1/2))^(1/2))/b^6
+ (20*a^4*(a + b*x^(1/2))^(3/2))/(3*b^6) - (8*a^3*(a + b*x^(1/2))^(5/2))/b^6 + (40*a^2*(a + b*x^(1/2))^(7/2))
/(7*b^6)